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高中必修课程中概率的教材设计和教学思考 ——兼谈 “数学核心素养如何落地”

高中必修课程中概率的教材设计和教学思考

——兼谈 “数学核心素养如何落地”
章建跃 程海奎

  摘要:研究对象是“数学化”的关键一步,是后续一切学习的基础,对教材和教学都有基本的重要性。要让学生在具体情境中展开认识活动,通过数学抽象获得研究对象。要按研究一个数学对象的基本套路,根据研究对象的特点确定合适的类比对象,构建研究路径。以反映数学内容本质、符合学生认知水平的问题,引导学生开展探究性学习,通过类比、联想、特殊化、一般化等推理活动发现和提出数学问题、形成研究思路、找到研究方法。要注重数学的整体性和思维的系统性,强调数学核心概念、基本思想和数学思考方式的育人价值,使学生在获得“四基”提高“四能”的过程中,逐步学会数学地思考、表达和交流,形成数学抽象、逻辑推理等能力,增强创新意识和应用能力。

  关键词:概率;数学核心素养;教材结构;数学的方式;类比

  中图分类号:G633.6文献标志码:A文章编号:1000-0186(2017)05-0027-07

  2017年,新修订的高中课程方案和课程标准将颁布实施。核心素养为纲的理念如何转化为学校教育教学的实际行动,自然成为教育研究的主题。作为数学教育实践者,我们更关心的是:发展学生的核心素养,教材该怎么编?教学该如何做?本文以概率教材为例谈点想法。

  首先需要明确,概率课程承担的主要育人任务是培养学生分析随机现象的能力,提升学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理以及数学运算等素养。归根结底是要通过对随机现象(主要是古典概型)的探索,在构建随机现象的研究路径、抽象概率的研究对象、建立概率的基本概念、发现和提出概率的性质、探索和形成研究具体随机现象的思路和方法、应用概率知识解决实际问题的过程中,发展学生的思维(认识不确定性现象的思维模式),使学生学会辩证地思考问题,成为善于认识问题、善于解决问题的人才。

  在这样的理念下反思以往的概率教材与教学,主要问题在于:“是什么”“怎么做”讲得很多,而“为什么”“怎么想”讲得不够,特别是对概率的研究对象是什么,研究的内容是怎么想到的,概念是怎么抽象的,概率的性质是如何发现的等,重视不够,由此导致学生知道是什么但不知道怎么想,从而极大地削弱了概率的育人功能。鉴于此,本文将从认识概率的研究对象入手,围绕如何使学生获得概率的研究对象、发现概率的研究内容和方法等问题展开讨论。

  一、关于概率的研究对象

  然而,现实中还存在大量问题,它们有着与上述问题明显不同的特征:即使获得并彻底研究了关于某种现象的所有已知信息,我们仍无法给出它未来发展的准确答案。例如,2017年北京空气质量达标的天数,某地区明天出生的第一个婴儿的性别,今年我国的国内生产总值增速、就业状况、物价指数、某种农作物的产量、居民人均年收入,某种产品的合格率,某种商品的销售额,国家足球队下一场比赛的输球数,某中学明年的升学率,抛掷一枚硬币是否正面朝上,等等。类似的这些问题中都包含了不确定性,或可能性。

  一般而言,我们可以把自然界和人类社会中存在的现象区分为两类:一类是在一定条件下能预知结果的,称为确定性现象;另一类是在一定的条件下事先不能预知结果的,称为不确定性现象。这里的“确定性”有两层含义:一是在一定条件下必然发生,二是可以预知结果。而“不确定性”的含义是在一定条件下,某个结果可能发生也可能不发生,而且即使知道发生的所有可能结果,我们也无法预知某次观测时的准确结果。例如,体育彩票“七星彩”游戏,是从0000000到9999999中选择任意7位自然数进行投注,一组7位数的排列称为一注。我们知道可能结果有一千万种,但无法预知下周二开奖的准确号码。显然,不确定性现象充斥于我们的生活中,人类必须面对这些问题,并要想尽一切办法解决这些问题。几百年来,为了把不确定性现象纳入严格而有效的研究中,数学家作出了不懈努力,而且取得了重大进展。

  人们发现,不确定性现象太复杂了,以目前人类的能力所及,许多都毫无规律、无法认知。于是设法缩小研究范围,把那些在大量重复中会出现规律性的现象作为研究对象,数学家把这种现象定义为———

  随机现象:在一定条件下不能事先预知结果且各个结果都具有频率稳定性的现象。

  实际上,这是一种研究对象的理想化。在这个基础上,我们可以通过舍弃一些相对不重要的影响因素而专注于感兴趣的那些因素,在把握了相应规律的基础上,再对这些因素带来的可能影响进行“补救性”研究。这是非常明智的做法。

  上述“定义”给出了随机现象的内涵。如何使学生理解这些内涵呢?我们可以通过一些典型例子,从可能发生的结果、这些结果的相互关系等角度,引导学生进行归纳,这是明确研究对象基本特征的基本方法。

  例如:抛掷一枚硬币,两枚硬币;抛掷一颗骰子,一对骰子;摸球问题;从某段英文中随机挑出一个字母;彩票问题;生男生女问题……这些问题都涉及不确定性和可能性,对这些问题的观测称为随机试验,它们具有如下的共同特性。

  第一,它们都有一组固定的、有明确定义的可能结果。例如:抛一枚硬币,不是正面朝上就是正面朝下;掷一个骰子一定出现1,2,3,4,5,6中的一个点数,而且只出现一个点数;随机挑出的字母一定是26个英文字母中的某一个;“七星彩”共有一千万组号码,每次开奖只出现一个号码;等等。

  第二,在一次试验中,哪个结果实际上会发生是不确定的。例如:抛一次硬币,我们无法预知是否正面朝上;某一次“七星彩”的中奖号码,也是不可能预知的。

  掷一对骰子,点数之和为2的情况只有一种,即1和1;点数之和为6的情况有1和5,2和4,3和3三种(不等可能);点数之和为7的情况也有1和6,2和5,3和4三种。一个直觉是:掷出2点的可能性小于掷出6点的,而掷出6点的可能性与掷出7点的可能性是一样的。当然,这些经验不一定都是正确的。

  还有大量的随机现象,仅凭我们的经验不能判断某个结果的可能性大小。例如,某运动员射击命中10环的可能性有多大?通过分析大量射击的结果,会发现命中10环的频率呈现出稳定的规律,由此可以通过频率来估计命中10环的可能性大小。当然还有“无限多个可能结果的随机现象”。例如:任意选择一个实数,四舍五入取整数,产生的误差有无穷多可能结果,所有的可能结果可以用区间(-0.5,0.5]表示,向一个直径为24cm的盘子里随意撒一颗豆子,落点的可能结果也有无穷多个。

  考虑到随机现象的高度复杂性以及学生的认知准备状况,同时也不失一般性,可以把高中概率必修课程的研究对象限制在有限结果的随机现象内。具体而言,所研究的不确定现象具有的特征,用关键词表示如下:(1)结果有限性;(2)不可预知性;(3)频率稳定性。

  对随机现象的认识和理解是非常困难的,需要在具体问题的解决、具体概率模型的学习中不断深入。

  二、关于概率教材的结构体系

  面对一个研究对象,到底有哪些问题需要研究?按照怎样的路径展开研究?可以采取哪些研究方法?这是数学课程、教材和教学都需要考虑的核心问题,是落实“使学生学会数学的思考方式”,培养学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力,发展学生的创新意识和实践能力的关键所在。归根结底,这是提升学生数学核心素养的关键。

  我们的目标是要给学生建立起一个研究随机现象的“数学框架”,使他们通过学习,不但了解概率的研究对象、内容、方法,学会相关的知识,而且知道这些问题是怎么提出来的,可以循着怎样的路径展开研究,如何探寻研究方法,等等。教学不能无中生有,要尽量从学生已有的认知基础出发,做到自然而然、水到渠成。但是,学生对随机现象的认知经验,除了在日常生活中积累起来的关于“可能性”的直觉经验、初中学过的非常有限的概率知识,可以用来作为高中概率学习基础的直接经验不多,所以我们必须从学生已经具备的所有数学知识经验中寻找概率的学习基础。

  我们知道,作为一个数学分支学科,概率的研究路径应体现“研究一个数学对象的基本套路”。这样,从方法论的角度看,在对随机现象的研究中,应该发挥研究确定性现象中获得的知识经验的作用,从中找到类比对象,获得关于概率的研究内容、过程和方法的启发。因为事件A的概率P(A)是事件A发生的可能性大小的度量,对于某个随机试验,有许多随机事件,要对每个事件都分配一个实数,所以概率可以看成是定义在样本空间(有限样本点)全体子集上的“集函数”。因此把函数作为类比对象是自然而然的。虽然函数的研究对象、研究内容和方法与概率有很大的不同,但这样的类比对于建立概率的研究路径、发现概率的研究内容和方法等都有较好的思路引导性,至少在入门阶段可以给学生提供研究方向的指引,有效消除学生对于概率的陌生感。

  归结起来,对于函数的研究,其结构和内容大致如下。

  预备知识:集合(概念、关系、运算);

  函数的事实—函数概念的定义、表示—函数的性质—基本初等函数。

  类比上述结构和内容,可以建立概率教材的结构体系如下。

  预备知识:样本点,样本空间,随机事件(基本事件),事件的关系和运算。

  概率的事实(随机现象)—概率的定义、表示—概率的性质、运算法则—古典概型、几何概型、频率的稳定性等—概率的计算、随机模拟试验……

  以上内容中,前三部分(事实、概念、性质)是对概率的基本概念、基本性质的研究,相当于对函数的一般概念与性质的研究;古典概型、几何概型是两类最基本的概率模型,与函数中的幂函数、指数函数、三角函数等的地位相当。

  但是,考虑到学生的认知水平,为了使学生在理解概率的概念和性质时有一个完整的具体例证支撑,我们把古典概型提前安排,形成如下概率教材结构。

  (1)背景引入(重点是“随机现象”)。

  (2)随机事件与概率。①有限样本空间和随机事件;②事件的关系和运算;③古典概型;④概率的基本性质。

  (3)事件的相互独立性。

  (4)频率与概率。①频率的稳定性;②随机模拟。

  需要说明的是,“事件的关系和运算”实际上是应“概率的性质和运算”的需要而研究的一个内容,因此,在给出概率的定义后再安排这个内容显得理由比较充分。不过,从数学的角度看,就像把集合作为一个独立的研究对象,以“元素、集合、集合的关系和运算”作为研究的基本内容一样,把随机事件作为一个独立的研究对象,在给出样本点、样本空间的概念,定义随机事件后,通过类比集合的内容引入“事件的关系和运算”,也是合理的。从学生认知的角度看,对随机事件关系和运算的研究是加深理解随机事件的需要;从教材结构合理性角度看,没有这个内容,这一节会非常单薄。所以,综合考虑,把“事件的关系和运算”安排在古典概型之前是合适的。

  另外,两个事件的独立性是事件之间的一种特殊关系,直观上是两个事件发生与否互相不受影响,本质上是两个事件积的概率等于这两个事件概率的积。在没有条件概率的概念时,从事件的关系和运算的角度出发研究概率的基本性质,可以引出问题“两个事件积的概率与这两个事件的概率有什么关系”,再通过具体例子引入事件的独立性概念,符合知识发展的逻辑性,故将?30?“事件的独立性”安排在“概率的基本性质”之后。

  三、概率研究对象的获得

  数学教学中,使学生“获得研究对象”具有基本的重要性,在此基础上才能进一步展开对相应数学对象的性质(关系和规律)的研究。这里,从过程角度看,就是使学生经历“从事实到定义”的数学化过程,通过数学抽象而明确数学研究对象的内涵、要素,再用数学语言予以表征;从结果角度看,就是使学生获得数学核心概念。显然,这对发展学生的数学核心素养意义重大。例如,在函数的教学中,从“事实”到“定义”,就是要让学生在具体事例支持下理解和把握函数的内涵,使学生认识到y=f(x),x∈A的一般性,使他们能用函数的思想和方法去研究、表示现实世界中变量关系和变化规律(如直线上升、指数爆炸、周期变化等)。

  概率研究对象的获得,同样要使学生经历从事实到定义的过程,具体而言就是“随机现象—随机试验—随机事件”。其中,“随机现象—随机试验”是以简单的随机现象(如抛硬币、掷骰子、彩票、摸球试验等)为例让学生认识随机现象的基本特征。不过这种认识只能是初步的。“随机试验—随机事件”则是一个实质性的“数学化”过程,要通过引入样本点和样本空间的概念,完成对随机事件的数学刻画,并在此基础上研究随机事件的关系和运算。也就是把具体随机现象从外部世界中分离出来,用样本点和样本空间加以描述,再用样本空间的子集刻画随机事件,从而完成用集合的语言刻画随机现象。在此基础上,利用集合的关系和运算研究随机事件的关系和运算,为研究概率的性质、运算做好准备。这里,引入样本点、样本空间概念,用样本空间的子集表示随机事件是随机现象数学化的关键一步,必须给予重视。

  这里遇到的困难是对样本点含义的理解,即“随机试验可能的基本结果”中“基本”的含义是什么。例如,在“掷骰子”试验中,一般认为基本结果有1,2,3,4,5,6,但如果研究的问题是“点数的奇偶性”,则可以简化为两个。又如,抛掷一对骰子,如果是求“点数之和为5”的概率,则基本结果是36个有序数对,而符合要求的基本结果数是4,如果是求“点数之和是偶数”的概率,那么既可把36个有序数对作为基本结果,也可简化成四个等可能的样本点(偶,偶),(偶,奇),(奇,偶),(奇,奇)。因此,是否“基本”可以根据要解决的问题来确定。不过,纠缠于字面意义无益于学生理解样本点的含义,且有可能把教学引向“如何算基本结果数更好”的歧途。重要的是,要让学生能针对具体随机现象给出适当的样本点和样本空间,并能用于表示随机事件,即要把精力放在对现实中的随机现象的数学化上。这里,要重视借助抽象符号特别是数字、有序数对等表示样本点的训练,以利于数学抽象素养的发展。例如,对于“掷两枚硬币”的试验,让学生经历如下过程是有意义的。

  第一枚硬币可能的基本结果用x表示,第二枚硬币可能的基本结果用y表示,那么试验的样本点可用(x,y)表示。于是,试验的样本空间为Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}。进一步地,如果用0表示“反面朝上”,用1表示“正面朝上”,则样本空间还可以简单表示为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}。

  值得指出的是,加强用数学语言描述随机现象的教学,对于促进学生理解样本点和样本空间的含义,随机事件和样本点的关系,随机事件的发生,随机事件的关系和运算等都是非常有用的。例如,对“两个元件组成的并联电路的工作状态”,因为每个元件可能正常或失效,所以是一个随机现象。这个问题情境很简单,但内涵却很丰富,可以让学生思考很多问题:(1)“电路的工作状态”的含义是什么?(2)如何表示这一随机试验的样本点?样本空间含有哪些样本点?(3)如何用语言表述基本事件?(4)事件A=—“甲元件正常”如何表示?事件A的含义是什么?(5)从基本事件出发构建随机事件,用集合的关系表示所列事件的关系,用事件的运算得到新的事件等。

  总之,这里应该利用典型例子,以“随机现象数学化”为导向,以“不同语言的相互转化”为手段,针对样本点、样本空间、随机事件及其关系等提出问题,并让学生自己提出问题。这样的训练是基础性的,对于“认识和理解随机现象”有重要意义,不能匆匆而过。另外,“随机事件的关系和运算”的知识可以为后续提出概率的性质和运算的研究内容提供直接基础,对回答“概率的性质指什么”具有导向性作用。顺便提及,不重视“研究对象的获得”,用“一个定义,三项注意”的方式让学生记住概念的形式化表述,在学生还不知道研究对象的基本特征时就开始“讲解例题,大量练习”,这是我国数学教学的顽疾。这里提出“获得研究对象对数学学习具有基本重要性”的观点对数学教学改革具有很强的针对性,是使数学核心素养落地的基本举措。

  四、概率的定义与性质的研究

  抛一个质地均匀的硬币或骰子,凭直觉就能知道“正面朝上、反面朝上的可能性一样”“出现各点数的可能性一样”。我们要做的是给出“可能性一样”的数学刻画。

  显然,以日常生活中对随机现象发生可能性的定性陈述为基础,给出古典概型的描述性定义是完全可行的。例如,给出如下问题:

  考虑下面的两个随机试验,如何度量事件A和事件B发生的可能性大小?

  (1)一个班级中有18名男生、22名女生。采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生”;

  (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次,事件B=“恰好一次正面朝上”。

  在学生思考的基础上给出回答:

  事件A发生的可能性大小,取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小,因此可以用男生数与班级学生数的比值来度量;

  事件B发生的可能性大小,取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小,因此可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量。

  归纳它们的共性,再给出定义:

  设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率为

  其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数。

  这是基于学生生活经验的数学抽象,关键是用“事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值”来度量事件发生的可能性大小。它不但给出了古典概型的定义,而且给出了概率的算法———归根结底是计算集合中元素的个数,“数”(shǔ)出有多少不同的结果(基本事件),这些结果有多少个是符合条件的。

  在上述基于有限样本空间,利用学生的生活经验给出定义的基础上,可以通过类比函数性质的研究思路发现和提出概率的基本性质,其中包括“规范性”“非负性”和“可加性”三条。其实,概率的公理化定义是在古典概型概率的定义和几何概型概率定义的基础上,采用由具体到抽象、由简单到复杂、由特殊到一般的归纳,利用测度理论而给出的。这里体现了数学的层次性。就像从算术到代数经历了确定的数字1,2,3被变量符号如x,y,z代替的过程一样。数学本身是一个层次分明的学科,每层都建立在之前的层次上,这种层次结构与数学的抽象发展具有一致性。在这个过程中,许多类似的现象被组合到一起,形成下一个层次的基石。因此,古典概型的教学应该更多地聚焦于认识样本空间、理解随机事件发生的含义、掌握概率的基本性质等更具一般意义的目标,而不是“如何计数”,否则将给整个概率课程的学习埋下后患。

  这里需要考虑的主要问题是如何引导学生开展类比活动,获得概率性质的猜想,从而解决“如何想得到”的问题。我们可以建立一个如下的函数性质与概率性质类比表。

  从上述性质可以看到,对于有限样本空间,知道了基本事件Ωi的概率,那么Ω的其他子集的概率就都确定了。也就是说,关于样本空间Ω的随机事件的概率可以由基本事件的概率来确定。

  还可以引导学生从事件的关系和运算入手类比长度或面积的度量性质,发现概率的一些基本性质。例如:

  五、小结

  以上以概率课程中几个最基本的问题为载体,讨论了数学核心素养如何落实于教材和教学的问题。概率教材的编写,注重在阐明研究对象的基础上,以“研究一个数学对象的基本套路”为指导,以函数为类比对象,构建概率的研究框架(教材的结构体系),建立概率的基本概念(或核心概念),研究概率的基本性质,再应用这些知识去研究各种概率模型。与之相适应的课堂教学,则强调变注入式教学为启发式、参与式教学,在教材的引导下,组织学生开展探究性学习,鼓励学生自主构建随机现象的研究路径,通过类比、归纳发现概率的研究内容,再通过从具体到抽象、从特殊到一般地展开探究活动,使教学过程真正成为学生自主发现和提出问题、分析和解决问题的过程,使学生在掌握概率基础知识的过程中逐渐形成概率的思维模式和解决问题的方法。其中,在具体情境中,通过直观想象、数学抽象认识客观现象,获得数学的研究对象;根据研究对象的特点确定合适的类比对象并构建研究路径,通过类比、联想、特殊化、一般化等推理活动发现和提出数学问题(概念、性质、法则等等)、形成研究思路、找到研究方法等,注重了数学的整体性和思维的系统性,体现了“数学的方式”,强调了数学核心概念和基本思想(bigidea)的育人价值,是从“四基”“四能”通向数学核心素养的主渠道。